罗列于此，方便查询：
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}ax^2}dx=\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2n}e^{-\frac{1}{2}ax^2}dx=\sqrt{2\pi}a^{-\frac{2n+1}{2}}(2n-1)!!\)
\(\int_{0}^{+\infty}x^{2n+1}e^{-\frac{1}{2}ax^2}dx=2^nn!a^{-n-1}\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}ax^2+Jx}dx =\sqrt{\frac{2\pi}{a}}e^{\frac{J^2}{2a}}\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}ax^2+iJx}dx =\sqrt{\frac{2\pi}{a}}e^{-\frac{J^2}{2a}}\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i(\frac{1}{2}ax^2+Jx)}dx =\sqrt{\frac{2\pi i}{a}}e^{-i\frac{J^2}{2a}}\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}x^TKx}d^nx=\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{detK}}\)（K是对称矩阵，以下同理）
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}x^TKx+Jx}d^nx=\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{detK}}e^{\frac{1}{2}JK^{-1}J}\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}x^TKx+iJx}d^nx=\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{detK}}e^{-\frac{1}{2}JK^{-1}J}\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i(\frac{1}{2}x^TKx+Jx)}d^nx=\sqrt{\frac{(2\pi i)^n}{detK}}e^{-\frac{i}{2}JK^{-1}J}\)
误差函数：\(erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xexp(-y^2)dy\)
高斯积分可以说是最常见的一类积分了，在光学、统计物理、量子场论等许许多多的领域都有着重要的地位，我曾经听过一种有趣的说法：“物理学家只学会了求解高斯积分”，所言非虚。高斯积分的重要性不仅在于它的常见，其优美的性质也使它成为这个世界奇妙性的来源，譬如，由于高斯积分的任意奇数阶矩都为0，偶数阶矩可以写为所有二阶矩的乘积。本篇文章其实是带有工具性质是一篇文章，记录了我所遇到的各种高斯积分的形式，方便随取随用；当然，我会适当地写一些求解过程，希望能够给对这个领域还不太熟悉的初学者一些参考和帮助。
推导过程
看这种形式的高斯积分： \(I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx\)
计算方法很简单，只需要做一个平方： \(I=\sqrt{I^2}=\sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy}=\sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)}dxdy}\)
取 \(x=rcos\theta, y=rsin\theta\)
则有 \(x^2+y^2=r^2,dxdy=Jdrd\theta\)
其中雅可比矩阵 \(J=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|=\left|\begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array}\right| =\left|\begin{array}{cc} cos\theta & sin\theta \ -rsin\theta & rcos\theta \end{array}\right| =r\)
因此上式等于： \(I=\sqrt{\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-\frac{1}{2}r^2}rdrd\theta} =\sqrt{2\pi \int_{0}^{+\infty}re^{-\frac{1}{2}r^2}dr} =\sqrt{2\pi \int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}r^2}d(\frac{1}{2}r^2)} =\sqrt{2\pi (-e^{-\infty}+e^{-0})} =\sqrt{2\pi}\)
稍作变形，就可以得到 \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}ax^2}dx=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}(\sqrt{a}x)^2}d(\sqrt{a}x)=\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\)
（2) 将上式两边分别对a求导，就得到 \(\int_{-\infty}^{+\infty}(-\frac{1}{2}x^2)e^{-\frac{1}{2}ax^2}dx =\sqrt{2\pi}(-\frac{1}{2})a^{-\frac{3}{2}}\)
求n次导，就得到 \(\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2n}e^{-\frac{1}{2}ax^2}dx=\sqrt{2\pi}a^{-\frac{2n+1}{2}}(2n-1)!!\)
（3） 容易得到 \(\int_{0}^{+\infty}xe^{-\frac{1}{2}ax^2}dx=\frac{1}{a}\) (仿照（1）中对r的积分)
依照（2）的思路，求n次导，就得到 \(\int_{0}^{+\infty}x^{2n+1}e^{-\frac{1}{2}ax^2}dx=2^nn!a^{-n-1}\)
（4、5、6） 有源高斯积分
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}ax^2+Jx}dx =\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}a(x^2-\frac{2J}{a}x+\frac{J^2}{a^2})+\frac{J^2}{2a}}dx =e^{\frac{J^2}{2a}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}a(x-\frac{J}{a})^2}dx =e^{\frac{J^2}{2a}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}a(x-\frac{J}{a})^2}d(x-\frac{J}{a}) =\sqrt{\frac{2\pi}{a}}e^{\frac{J^2}{2a}}\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}ax^2+iJx}dx =\sqrt{\frac{2\pi}{a}}e^{\frac{(iJ)^2}{2a}} =\sqrt{\frac{2\pi}{a}}e^{-\frac{J^2}{2a}}\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i(\frac{1}{2}ax^2+Jx)}dx =\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}a(xe^{-\frac{\pi}{4}})^2+Je^{\frac{\pi}{2}}x)}dx =\sqrt{\frac{2\pi i}{a}}e^{-i\frac{J^2}{2a}}\)
（7、8、9、10） 高斯重积分
首先，在（1）中我们已经求过二重高斯积分了：
\(\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)}dxdy=I^2=(\sqrt{2\pi})^2=2\pi\)
n重高斯积分也不难求得：
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}\sum_\limits{i=1}^\limits{n} x_i^2}dx_1dx_2...dx_n=I^n=\sqrt{(2\pi)^n}\)
可如果指数的分子上是一个任意的二次型，就不能向上面一样简单地做出来了。设二次型为 \(x^TKx\) （\(x=(x_1,x_2,...,x_n),K=(K_{ij}),i,j\in(1,n)\) ），若\(K\)是对称矩阵（ \(K=K^T\) ），则可以做分解 \(K=S^TS\) ，使得 \(x^TKx=x^TS^TSx=(Sx)^T(Sx)\) 。我们定义 \(y=Sx\) ，则原n重高斯积分就变为了
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}x^TKx}d^nx= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}y^Ty}Jd^ny\)
其中 \(J=\left|\frac{\partial x}{\partial y}\right|=\frac{1}{det S}=\frac{1}{\sqrt{detK}}\)
因此最终的答案为 \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}x^TKx}d^nx= \frac{1}{\sqrt{detK}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}y^Ty}d^ny=\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{detK}}\)
同样地，有源高斯重积分仅需把（4、5、6）中的 \(a\) 换为 \(K\)或\(det K\) （取决于最后的结果需要是标量）就可以了：
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}x^TKx+Jx}d^nx=\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{detK}}e^{\frac{1}{2}JK^{-1}J}\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}x^TKx+iJx}d^nx=\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{detK}}e^{-\frac{1}{2}JK^{-1}J}\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i(\frac{1}{2}x^TKx+Jx)}d^nx=\sqrt{\frac{(2\pi i)^n}{detK}}e^{-\frac{i}{2}JK^{-1}J}\)
（11）误差函数
不可求解的高斯积分可以用误差函数来表示：
误差函数： \(erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xexp(-y^2)dy\)
（未完待续）
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