分数量子霍尔效应产生于带有相互作用的、垂直磁场下的二维电子体系。换句话说，在理论上，我们只需要将电子相互作用加入进之前的理论中就好了：

这是一个多体哈密顿量，显而易见是十分复杂的。

但仅对于2电子的情况，我们可以直接猜出本征波函数。直接根据无相互作用时候的波函数形式：

直接猜测2粒子情况下的本征态波函数为：

其中M是两粒子的总角动量，m是相对角动量。验证它是上述哈密顿量的方法较多，这里选择最暴力的一种，直接带入薛定谔方程：

其中$H_{01}, H_{02}$是单粒子哈密顿量，我们定义的2粒子波函数很容易证明是它们的本征态，因此可以忽略。我们只需要证明三项中不存在交叉项：$\bra{M',m'}V\ket{M,m}\propto\delta_{MM'}\delta_{mm'}$，就能说明2粒子波函数是2粒子哈密顿量的本征态。这对相互作用势施加了一个小限制——它一定是中心对称的：

这真是一个微不足道的要求。此外，定义$Z:=\frac{z_1+z_2}{2}, z=z_1-z_2$，于是

于是原式容易得到

将复数画为模和幅角的形式$Z=Re^{i\theta}, z=re^{\varphi}$形式，很容易看出其中包含的项

于是我们就证明了相互作用项并不会在不同参数的波函数中引入交叉项。这意味着什么？意味着我们猜测的这个波函数就是存在相互作用情况下的2电子体系的本征态！注意以上推导我们只证明了：当体系中仅存在最低朗道能级中的电子时（即n=0），该二体波函数是哈密顿量的本征态，当电子填充到更高朗道能级后，这个断言并不显然。

然而，分数量子霍尔效应面对的是一个电子浓度为$n_e\approx 10^{10-12} cm^{-12}$的体系，其中包含宏观数量的电子，这是一个典型的多体量子系统。面对这样一个多体量子体系，正常人都不会想着说是先把波函数写出来！一般的做法是从哈密顿量出发，通过微扰论、平均场或有效场论等方法求出能谱、波函数等性质。然而，劳夫林（Laughlin）则像是收到了神谕一样，越过了过程、直接给出了结果（这个体系的波函数）——Laughlin 波函数：

其中m是一个奇数。这个波函数很容易看出复合费米子的泡利不相容性质——交换两个粒子的位置变号，以及两粒子不能处于同一个位置（否则波函数为0）。此外，电子也不能相隔无穷远，否则波函数中的指数项也趋于0。很容易看出这个波函数和2电子体系的波函数很像。

无法证明这个波函数的确是多体哈密顿量的本征态，但我们可以方便验证它的确能够解释分数量子霍尔效应的许多性质。首先，我们将说明它的确描述了$\nu=\frac{1}{m}$分数量子霍尔态。回顾填充数的计算方法，是说，假设二维体系的总面积为S，那么那么总的磁通是SB，单个朗道能级（不考虑自旋）的简并度是其中的量子磁通数：

假设每个电子波函数占据的面积为A，那么总电子数为S/A。所有电子所占据的朗道能级数量，即填充数：

Laughlin波函数的面积——根据单粒子情况时得到的结论，和其角动量有关：$R=\sqrt{2m}l_B, A=\pi R^2=2\pi ml_B^2$。Laughlin波函数中，对于单个粒子，例如$z_1$，容易看出其最高次幂为$m(N-1)$。但是Laughlin波函数包含体系中所有电子，因此平均单粒子占据的面积大致为

于是填充数为

由波函数的反对称要求，m为奇数，因此laughlin波函数实际上可以描述奇数分母、分子为1的态。

然而，实际上，数值分析表明，laughlin波函数仅在少量电子（例如几十个）时，几乎是该体系的精确的本征态，而当电子数非常大时，与数值解几乎没有重叠，这说明它不是真实分数量子霍尔体系的本征波函数。然而，它的确能够很好地描述分数量子霍尔效应的大多数性质，因此我们认为它与真实的波函数十分类似，即“处于同一个普适类”。（大概是指，具有同样的分数激发，以及同样的拓扑序。）

实际上，额，在$\nu=1$时，即最低朗道能级完全填满时（不考虑自旋），laughlin波函数应当也是无相互作用二维电子体系的本征函数，能够描述整数量子霍尔效应。我们将从零开始构建满填充的最低朗道能级的波函数，然后和m=1的laughlin波函数比较，说明它们完全相同。

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下一节我们将讲一讲laughlin波函数的有趣的性质，以及如何用它推导出FQHE的实验现象。