分数量子霍尔效应(一：整数量子霍尔效应的波函数)

我们提到量子霍尔效应，我们在考虑的是一个二维的电子体系。在非相互作用的二维电子体系（即：二维电子气）中，这考虑的就是如下哈密顿量：

H=\frac{p^2}{2m_e}=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m_e}

这个哈密顿量的解是非常直观的，就是将x和y方向分立变量，得到本征能力和波函数分别为：

E=\frac{\hbar^2}{2m_e}(k_x^2+k_y^2) ,\quad \psi(x,y)\propto e^{ik_xx}e^{ik_yy}

OK，现在如果加上磁场呢？注意到磁场不做功，因此它改变系统的能量（哈密顿量）。系统的哈密顿量仍旧是 $H=\frac{1}{2}m_e\dot{\bm{x}}^2$ 。然而，现在唯一的区别是，不再有 $\bm{p}=m_e\dot{\bm{x}}$ 。此时我们将动量p替换为 $\bm{\pi}$ ，它叫做“物理动量”，而不是哈密顿力学中可以直接量子化的那个“正则动量”。正则动量p和物理动量 $\pi$ 的关系是：

\bm{\pi}=m_e\dot{\bm{x}}=\bm{p}+e\bm{A}

其中磁场由磁矢势 $\bm{A}(x,y)$ 给出。正则动量 $\bm{p}$ 满足和位置 $\bm{r}$ 的量子力学对易关系： $[r_i,p_j]=i\hbar\delta_{ij}$ 。于是哈密顿量变为

H=\frac{\bm{\pi}^2}{2m_e}=\frac{(\bm{p}+e\bm{A})^2}{2m_e}

（为什么是这样的？这涉及到磁场的性质。虽然磁场不改变体系的能量，但由于电子带电，磁场仍旧会对其中做回旋运动的电子施加一个相位，这使得粒子的对易关系——即两个粒子交换位置，受到磁场的影响。）进一步，我们假设磁场垂直于二维平面向上 $\bm{B}=B\bm{z}$ 。为了得到哈密顿量的确切形式，我们必须确定 $\bm{A}(x,y)$ ，然而它是不确定的，我们只知道 $\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$ 。一种约定是所谓的对称规范：

\bm{A}(x,y)=-\frac{1}{2}\bm{r}\times\bm{B}=\frac{B}{2}(-y,x)

在这种规范下，哈密顿量为

H=\frac{1}{2m_e}[(p_x-\frac{eB}{2}y)^2+(p_y+\frac{eB}{2}x)^2]

这就是在垂直磁场下的无相互作用的二维电子气（在对称规范下）的哈密顿量的具体形式，是不是很简单？解起来就更简单了，可以定义产生/湮灭算符：

a^\dagger=\frac{1}{\sqrt{2e\hbar B}}(\pi_x+i\pi_y)\quad a=\frac{1}{\sqrt{2e\hbar B}}(\pi_x-i\pi_y)

于是有

H=\hbar\omega_B(a^\dagger a + \frac{1}{2})

其中 $\omega_B=\frac{eB}{m_e}$ 称为回旋共振频率。推导过程中利用了磁场下物理动量的对易关系 $[\pi_i,\pi_j]=-i\hbar e\epsilon_{ijk}B_k$ 。

注意：当磁场 $B\to0$ 时，体系回到正常的谐振子形式。你可以注意到，这一切的缘由，都是因为在存在磁场的情况下，物理动量的对易关系 $[\pi_i,\pi_j]\neq0$ ，这就是规范理论的魅力（磁场改变了空间的辛结构）。之后你看到的一切特别的性质都由它所导致。

我们继续解这个哈密顿量。实际上其本征能量已经解出来了，就是类似谐振子的分立能级：

E=\hbar\omega_B(n+\frac{1}{2})

注意和不存在磁场时的情况 $E=\frac{\hbar^2}{2m_e}(k_x^2+k_y^2)$ 作比较，后者是连续谱，而前者已经被离散化了。能量上的离散化往往意味着空间上的定域性，这很好理解：在垂直磁场下，电子倾向于绕着某个中心做回旋运动，而不是在二维空间中自由运动的平面波。这也解释了为什么 $\omega_B$ 被称作回旋共振频率。

我们将上述离散能级称为朗道能级。

我们进一步求解该哈密顿量的波函数。将 $H=\frac{1}{2m_e}[(p_x-\frac{eB}{2}y)^2+(p_y+\frac{eB}{2}x)^2]$ 拆开得到

H=\frac{1}{2m_e}[\bm{p}^2+\frac{e^2B^2}{4}\bm{r}^2+eBL_z]

其中 $L_z=xp_y-yp_x$ 是沿着z轴方向的角动量。这就是一个有外加磁场的二维谐振子，其解由主量子数n（它不是朗道能级的序数，我们之后不讨论它了）和磁量子数m决定。

求解上述哈密顿量不是必要的（除非你引入一个点状杂质，去研究电子束缚在杂质附近的行为）。我们有更加优雅且代数的方法来处理这个哈密顿量。既然已知该体系必然由2个量子数决定，那么朗道能级的序数n必然是简并的。我们需要找到一个物理量，它和哈密顿量对易，来去除朗道能级的简并。我们找到了：

定义“动量”：

\tilde{\bm{\pi}}=\bm{p}-e\bm{A}

再定义与之搭配的一组“产生/湮灭算符”：

b^\dagger=\frac{1}{\sqrt{2e\hbar B}}(\tilde{\pi}_x-i\tilde{\pi}_y)\quad b=\frac{1}{\sqrt{2e\hbar B}}(\tilde{\pi}_x+i\tilde{\pi}_y)

于是简并就被完全去除了（之后可以验证）。然后体系的波函数就可以用产生算符写为：

\ket{n,m}=\frac{{a^\dagger}^n {b^\dagger}^m}{\sqrt{n!m!}}\ket{0,0}

我们需要知道 $\ket{0,0}$ 的形式。由湮灭算符的性质，它应当满足如下等式：

a\ket{0,0}=b\ket{0,0}=0

定义 $z=x-iy,\tilde{z}=x+iy, \partial=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}), \tilde{\partial}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y})$ （这样满足 $\partial z=\tilde{\partial}\tilde{z}=1, \tilde{\partial}z=\partial\tilde{z}=0$ ），产生/湮灭算符在坐标表象下应当记为

a^\dagger=-i\sqrt{2}(l_B\partial-\frac{\tilde{z}}{4l_B}) \quad a=-i\sqrt{2}(l_B\tilde{\partial}+\frac{z}{4l_B})

b^\dagger=-i\sqrt{2}(l_B\tilde{\partial}-\frac{z}{4l_B}) \quad b=-i\sqrt{2}(l_B\partial+\frac{\tilde{z}}{4l_B})

其中 $l_B=\sqrt{\frac{\hbar}{eB}}$ 是磁长度。于是方便解得满足湮灭算符性质的基态为

\ket{0,0}\propto e^{-\frac{|z|^2}{4l_B^2}}

其它态怎么得到？就是把产生算符一个一个作用上去就好了（a和b这两组算符完全互相对易，互不影响）。这里我们关注两种类型的波函数：

最低朗道能级中的所有波函数 $\ket{0,m}$ 。显然它等于 $\ket{0,m}\propto (b^\dagger)^m\ket{0,0} \propto (\frac{z}{l_B})^m e^{-\frac{|z|^2}{4l_B^2}}$ 。它对分数量子霍尔效应的讨论有基础意义。
m=0时，更高朗道能级的波函数 $\ket{n,0}$ 。显然它等于 $\ket{n,0}\propto (a^\dagger)^n \ket{0,0} \propto (\frac{\tilde{z}}{l_B})^n e^{-\frac{|z|^2}{4l_B^2}}$ 。它对光学过程的讨论有帮助。

注意一个有趣的事实：如果我们定义角动量算符

L_z=x\pi_y-y\pi_x=-i\hbar(x\partial_y-y\partial_x)=\hbar(\tilde{z}\tilde{\partial}-z\partial) =\hbar(n-m)

则在最低朗道能级（n=0）中，m实际上充当了角动量的角色。（注意：David Tong书中定义的 $L_z=i\hbar(x\partial_y-y\partial_x)$ ，与我们这里差一个负号，实际上只是将角动量重新定义了一下。这种定义在量子霍尔体系里似乎比较常见）。

这一节的最后，我们再讨论一下朗道能级的简并度。注意到在我们讨论的情况（对称规范）下，波函数都是环状的，在最低朗道能级中，以m为量子数的波函数的峰值出现在半径为 $r=\sqrt{2m}l_B$ 的圆环附近。也就是说，如果我们假设有一个以R为半径的圆形区域，那么其中包含的量子态的数量大约为 $R=r(m)\to m=\frac{1}{2}(\frac{R}{l_B})^2$ 个，于是态密度就为